Dérivées usuelles : tableau et règles de calcul

La dérivée de xⁿ est n xⁿ⁻¹, celle de eˣ est eˣ, celle de ln x est 1/x, celle de sin est cos et celle de cos est −sin. Pour les combinaisons, on applique (uv)’ = u’v + uv’, (u/v)’ = (u’v − uv’)/v² et (g∘u)’ = u’ × g’(u).

Mis à jour le 7 novembre 2026

Dérivées des fonctions de référence

Fonction f(x)Dérivée f’(x)Ensemble de dérivabilité
k (constante)0ℝ
x1ℝ
x22xℝ
x33x2ℝ
xn (n entier, n ≥ 1)n xn−1ℝ
1/x−1/x2ℝ* = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[
1/xn = x−n−n/xn+1ℝ*
√x1/(2√x)]0 ; +∞[ (définie en 0 mais non dérivable)
exexℝ
ln x1/x]0 ; +∞[
sin xcos xℝ
cos x−sin xℝ
tan x1 + tan2 x = 1/cos2 xx ≠ π/2 + kπ

Opérations sur les dérivées

FonctionDérivée
u + vu’ + v’
k uk u’
u vu’v + uv’
1/v−v’/v2
u/v(u’v − uv’)/v2
unn u’ un−1
√uu’/(2√u)
euu’ eu
ln uu’/u
cos u−u’ sin u
sin uu’ cos u
g(ax + b)a g’(ax + b)
g∘u (composée)u’ × g’(u)

Exemples

f(x)f’(x)
3x2 − 5x + 76x − 5
(2x + 1)33 × 2 × (2x + 1)2 = 6(2x + 1)2
x exex + x ex = (1 + x) ex
ln(x2 + 1)2x/(x2 + 1)
(x + 1)/(x − 1)(1·(x − 1) − (x + 1)·1)/(x − 1)2 = −2/(x − 1)2
e−2x−2 e−2x

À quoi sert la dérivée ?

  • Tangente en a : y = f’(a)(x − a) + f(a).
  • Variations : f’ > 0 sur un intervalle ⇒ f croissante ; f’ < 0 ⇒ f décroissante ; f’ s’annule en changeant de signe ⇒ extremum local.
  • Vitesse : la dérivée de la position par rapport au temps.

Erreurs fréquentes

  • Erreur : (uv)’ = u’v’ → Correct : (uv)’ = u’v + uv’.
  • Erreur : (1/x)’ = ln x → Correct : (1/x)’ = −1/x<sup>2</sup> ; c’est la primitive de 1/x qui vaut ln x.
  • Erreur : (e<sup>2x</sup>)’ = e<sup>2x</sup> → Correct : 2 e<sup>2x</sup> (ne pas oublier u’).
  • Erreur : (√x)’ = √x/2 → Correct : 1/(2√x).
  • Erreur : (cos x)’ = sin x → Correct : −sin x.
  • Erreur : dériver une constante k en k → Correct : la dérivée d’une constante est 0.

À retenir

Apprenez le tableau des fonctions de référence puis les quatre règles : somme, produit, quotient, composée. Dans une composée, la dérivée de l’intérieur (u’) apparaît toujours en facteur.

Voir aussi