Suites arithmétiques et géométriques : formules

Une suite arithmétique ajoute une raison r à chaque étape, d’où uₙ = u₀ + nr et une somme égale à (nombre de termes) × (premier + dernier)/2. Une suite géométrique multiplie par une raison q, d’où uₙ = u₀ qⁿ et une somme égale à u₀(1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q).

Mis à jour le 7 novembre 2026

Comparatif

Suite arithmétiqueSuite géométrique
Définition par récurrenceun+1 = un + r (raison r)un+1 = q × un (raison q)
Reconnaîtrela différence un+1 − un est constantele quotient un+1 / un est constant (termes non nuls)
Terme général (premier terme u0)un = u0 + n run = u0 × qn
Terme général (premier terme u1)un = u1 + (n − 1) run = u1 × qn−1
Entre deux termes quelconquesun = up + (n − p) run = up × qn−p
Sens de variationcroissante si r > 0, décroissante si r < 0, constante si r = 0pour u0 > 0 : croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1 ; signes alternés si q < 0
Somme de u0 à un(n + 1) × (u0 + un) / 2u0 × (1 − qn+1) / (1 − q) si q ≠ 1
Limite+∞ si r > 0, −∞ si r < 0qn → 0 si −1 < q < 1 ; qn → +∞ si q > 1 ; pas de limite si q ≤ −1

Deux sommes à connaître

  • 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2
  • 1 + q + q2 + … + qn = (1 − qn+1)/(1 − q) pour q ≠ 1

Exemples

SuiteNatureCalcul
3 ; 7 ; 11 ; 15 ; …arithmétique, r = 4, u0 = 3u10 = 3 + 10 × 4 = 43 ; somme de u0 à u10 = 11 × (3 + 43)/2 = 253
2 ; 6 ; 18 ; 54 ; …géométrique, q = 3, u0 = 2u5 = 2 × 35 = 486 ; somme de u0 à u5 = 2 × (1 − 36)/(1 − 3) = 728
Capital de 1 000 € placé à 2 % par angéométrique, q = 1,02après 10 ans : 1 000 × 1,0210 ≈ 1 219 €
1 ; 4 ; 9 ; 16 ; …ni l’une ni l’autredifférences 3, 5, 7 non constantes ; quotients non constants

Erreurs fréquentes

  • Erreur : u<sub>n</sub> = u<sub>1</sub> + n r quand le premier terme est u<sub>1</sub> → Correct : u<sub>n</sub> = u<sub>1</sub> + (n − 1) r.
  • Erreur : compter n termes de u<sub>0</sub> à u<sub>n</sub> → Correct : il y en a n + 1.
  • Erreur : somme géométrique écrite u<sub>0</sub>(1 − q<sup>n</sup>)/(1 − q) pour n + 1 termes → Correct : l’exposant est le nombre de termes, soit n + 1.
  • Erreur : conclure qu’une suite est géométrique après avoir vérifié deux quotients → Correct : cela permet de conjecturer, la preuve exige u<sub>n+1</sub>/u<sub>n</sub> constant pour tout n.
  • Erreur : (0,9)<sup>n</sup> tend vers 1 → Correct : vers 0, car −1 < 0,9 < 1.

À retenir

Arithmétique : on ajoute, le terme général est affine en n. Géométrique : on multiplie, le terme général est une puissance de q. Les sommes se retrouvent avec le nombre de termes, le premier et le dernier (ou la raison).

Voir aussi