Les trois identités remarquables sont (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a + b)(a − b) = a² − b². Lues de gauche à droite elles développent, lues de droite à gauche elles factorisent.
Mis à jour le 7 novembre 2026
Les trois identités du second degré
Forme développée
Forme factorisée
Nom
a2 + 2ab + b2
(a + b)2
carré d’une somme
a2 − 2ab + b2
(a − b)2
carré d’une différence
a2 − b2
(a + b)(a − b)
différence de deux carrés
Identités du troisième degré
Forme développée
Forme factorisée
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)3
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
(a − b)3
a3 + b3
(a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3
(a − b)(a2 + ab + b2)
Développer
Expression
Identité utilisée
Résultat
(x + 3)2
a = x, b = 3
x2 + 6x + 9
(2x − 5)2
a = 2x, b = 5
4x2 − 20x + 25
(3x + 1)(3x − 1)
a = 3x, b = 1
9x2 − 1
(x − 1/2)2
a = x, b = 1/2
x2 − x + 1/4
Factoriser
Expression
Repérage
Résultat
x2 − 16
différence de carrés : x2 − 42
(x − 4)(x + 4)
x2 + 10x + 25
double produit 2·x·5 = 10x
(x + 5)2
4x2 − 12x + 9
(2x)2, 2·2x·3, 32
(2x − 3)2
(x + 1)2 − 9
a = x + 1, b = 3
(x + 1 − 3)(x + 1 + 3) = (x − 2)(x + 4)
Méthode pour reconnaître un carré parfait
Vérifier que le premier et le dernier terme sont des carrés (a2 et b2).
Calculer 2ab et comparer au terme central.
Le signe du terme central donne le signe dans la parenthèse.
Calcul mental
1012 = (100 + 1)2 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201
49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2 500 − 1 = 2 499
982 = (100 − 2)2 = 10 000 − 400 + 4 = 9 604
Erreurs fréquentes
Erreur : (a + b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> → Correct : a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup> (ne pas oublier le double produit).
Erreur : factoriser x<sup>2</sup> + 9 en (x + 3)<sup>2</sup> → Correct : x<sup>2</sup> + 9 ne se factorise pas dans ℝ (une somme de carrés n’est pas une identité).
Erreur : (a − b)<sup>2</sup> = −(a + b)<sup>2</sup> → Correct : (a − b)<sup>2</sup> = (b − a)<sup>2</sup>, toujours positif ou nul.
À retenir
Carré du premier, plus ou moins le double produit, plus le carré du second. La différence de deux carrés se factorise toujours en (somme)(différence). Avant de factoriser, vérifiez le double produit.