Probabilités : vocabulaire et formules de base

La probabilité d’une union vaut P(A) + P(B) − P(A ∩ B), celle du contraire 1 − P(A), et la probabilité conditionnelle P_B(A) = P(A ∩ B)/P(B). Pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, le nombre de succès suit la loi binomiale avec P(X = k) = C(n, k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ et E(X) = np.

Mis à jour le 7 novembre 2026

Vocabulaire

Terme	Définition	Exemple (lancer d’un dé)
univers Ω	ensemble des issues possibles	{1, 2, 3, 4, 5, 6}
événement	sous-ensemble de Ω	A = « obtenir un nombre pair » = {2, 4, 6}
événement contraire Ā	issues qui ne sont pas dans A	Ā = {1, 3, 5}
A ∩ B (A et B)	issues communes	pair et > 3 : {4, 6}
A ∪ B (A ou B)	issues dans A, dans B ou dans les deux	pair ou > 3 : {2, 4, 5, 6}
incompatibles	A ∩ B = ∅	« pair » et « égal à 5 »

Règles de calcul

Formule	Condition
0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(Ω) = 1 ; P(∅) = 0	toujours
P(Ā) = 1 − P(A)	toujours
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)	toujours
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)	A et B incompatibles
P(A) = nombre d’issues favorables / nombre d’issues possibles	équiprobabilité
P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B)	probabilité de A sachant B, P(B) ≠ 0
P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A) = P(A) × P_A(B)	toujours
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄)	probabilités totales (B et B̄ forment une partition)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)	A et B indépendants (équivaut à P_B(A) = P(A))

Lois de Bernoulli et binomiale

Loi	Situation	Probabilités	E(X)	V(X)
Bernoulli de paramètre p	une épreuve à deux issues : succès (1) ou échec (0)	P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 − p	p	p(1 − p)
Binomiale B(n ; p)	n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; X = nombre de succès	P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^n−k	np	np(1 − p)

C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) compte les chemins à k succès ; C(n, 1) = n, C(4, 2) = 6. E(X) est la valeur moyenne, V(X) la variance.

Exemple

On lance un dé trois fois ; X = nombre de 6 suit B(3 ; 1/6). P(X = 1) = 3 × (1/6) × (5/6)² = 75/216 ≈ 0,347. P(X ≥ 1) = 1 − (5/6)³ = 91/216 ≈ 0,421. E(X) = 3 × 1/6 = 0,5.

Erreurs fréquentes

Erreur : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) sans vérifier l’incompatibilité → Correct : soustraire P(A ∩ B) si les événements peuvent se produire ensemble.
Erreur : confondre incompatibles et indépendants → Correct : incompatibles signifie P(A ∩ B) = 0 ; indépendants signifie P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Erreur : P<sub>B</sub>(A) = P<sub>A</sub>(B) → Correct : les deux conditionnelles sont en général différentes.
Erreur : P(X ≥ 1) calculé en additionnant tous les cas → Correct : plus rapide par le contraire, 1 − P(X = 0).
Erreur : oublier le coefficient C(n, k) dans la loi binomiale → Correct : il compte les ordres possibles des k succès.
Erreur : donner une probabilité supérieure à 1 ou négative → Correct : toute probabilité est comprise entre 0 et 1.

À retenir

Contraire : 1 moins. Union : somme moins intersection. Conditionnelle : intersection divisée par la condition. Binomiale : C(n, k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, espérance np.