Vecteurs : coordonnées, norme, produit scalaire

Le vecteur AB a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A) et pour norme √(x² + y²). Deux vecteurs sont colinéaires si xy’ − yx’ = 0 et orthogonaux si leur produit scalaire xx’ + yy’ est nul.

Mis à jour le 7 novembre 2026

Dans cette fiche, les vecteurs sont notés en gras : u(x ; y), AB. Les formules dans le plan s’étendent à l’espace en ajoutant la coordonnée z.

Coordonnées

ObjetFormule
vecteur AB avec A(xA ; yA) et B(xB ; yB)AB(xB − xA ; yB − yA)
somme u(x ; y) + v(x’ ; y’)(x + x’ ; y + y’)
produit par un réel ku(kx ; ky)
norme ‖u‖√(x2 + y2) ; dans l’espace √(x2 + y2 + z2)
distance AB = ‖AB‖√((xB − xA)2 + (yB − yA)2)
milieu I de [AB]((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2)
relation de ChaslesAB + BC = AC ; BA = −AB

Colinéarité

  • u(x ; y) et v(x’ ; y’) sont colinéaires ⇔ v = ku ⇔ xy’ − yx’ = 0 (déterminant nul).
  • A, B, C alignés ⇔ AB et AC colinéaires.
  • (AB) ∥ (CD) ⇔ AB et CD colinéaires.
  • ABCD parallélogramme ⇔ AB = DC.

Produit scalaire

ExpressionFormule
avec les coordonnéesu·v = xx’ + yy’ (+ zz’ dans l’espace)
avec l’angle θ = (u, v)u·v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ
avec les normesu·v = (1/2)(‖u + v‖2 − ‖u‖2 − ‖v‖2)
avec le projeté orthogonal H de C sur (AB)AB·AC = AB·AH
carré scalaireu·u = ‖u‖2
orthogonalitéu ⊥ v ⇔ u·v = 0
anglecos θ = u·v / (‖u‖ ‖v‖)

Exemple

A(1 ; 2), B(4 ; 6), C(−3 ; 5). AB(3 ; 4), ‖AB‖ = √(9 + 16) = 5. AC(−4 ; 3). AB·AC = 3 × (−4) + 4 × 3 = 0 : l’angle en A est droit. Déterminant 3 × 3 − 4 × (−4) = 25 ≠ 0 : A, B, C ne sont pas alignés.

Erreurs fréquentes

  • Erreur : <strong>AB</strong>(x<sub>A</sub> − x<sub>B</sub> ; y<sub>A</sub> − y<sub>B</sub>) → Correct : extrémité moins origine, (x<sub>B</sub> − x<sub>A</sub> ; y<sub>B</sub> − y<sub>A</sub>).
  • Erreur : ‖<strong>u</strong>‖ = x + y → Correct : √(x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>).
  • Erreur : produit scalaire xx’ − yy’ → Correct : xx’ + yy’ ; c’est le déterminant qui vaut xy’ − yx’.
  • Erreur : conclure que <strong>u</strong>·<strong>v</strong> = 0 implique <strong>u</strong> = 0 ou <strong>v</strong> = 0 → Correct : cela signifie que les vecteurs sont orthogonaux (ou l’un est nul).
  • Erreur : écrire <strong>AB</strong> + <strong>CB</strong> = <strong>AC</strong> → Correct : <strong>AB</strong> + <strong>BC</strong> = <strong>AC</strong> (les lettres intermédiaires se suivent).

À retenir

Coordonnées : extrémité moins origine. Colinéarité : déterminant xy’ − yx’ nul. Orthogonalité : produit scalaire xx’ + yy’ nul. La norme est la racine de la somme des carrés.

Voir aussi