Théorème de Pythagore : énoncé, réciproque, exemples

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : BC² = AB² + AC² si l’angle droit est en A. Réciproquement, si cette égalité est vérifiée avec le plus grand côté, le triangle est rectangle.

Mis à jour le 7 novembre 2026

Théorème de Pythagore

Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC2 = AB2 + AC2 : le carré de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit, le plus long) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Calculer un côté

On chercheFormuleExemple
l’hypoténuse BCBC = √(AB2 + AC2)AB = 6, AC = 8 : BC2 = 36 + 64 = 100, BC = 10
un côté de l’angle droit ACAC = √(BC2 − AB2)BC = 13, AB = 5 : AC2 = 169 − 25 = 144, AC = 12
valeur non exactegarder la racine ou arrondirAB = 3, AC = 4,5 : BC2 = 9 + 20,25 = 29,25, BC = √29,25 ≈ 5,41

Rédaction type

  1. « Le triangle ABC est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore : BC2 = AB2 + AC2. »
  2. Remplacer par les valeurs, calculer le carré manquant.
  3. Prendre la racine carrée et donner l’unité.

Réciproque : prouver qu’un triangle est rectangle

  • Si BC2 = AB2 + AC2 (BC étant le plus grand côté), alors le triangle ABC est rectangle en A.
  • Exemple : côtés 5, 12, 13. Plus grand côté : 132 = 169 ; 52 + 122 = 25 + 144 = 169. Égalité : le triangle est rectangle, l’angle droit est opposé au côté 13.
  • Si l’égalité est fausse, le triangle n’est pas rectangle (contraposée). Exemple : 5, 6, 8 : 64 ≠ 25 + 36 = 61.

Triplets pythagoriciens courants

TripletVérification
3, 4, 59 + 16 = 25
5, 12, 1325 + 144 = 169
8, 15, 1764 + 225 = 289
7, 24, 2549 + 576 = 625
et leurs multiples : 6, 8, 10 ; 9, 12, 15 ; 10, 24, 26

Applications directes

  • Diagonale d’un carré de côté c : c√2 ; diagonale d’un rectangle L × l : √(L2 + l2).
  • Hauteur d’un triangle équilatéral de côté c : (c√3)/2.
  • Distance entre deux points dans un repère : AB = √((xB − xA)2 + (yB − yA)2).

Erreurs fréquentes

  • Erreur : BC = AB + AC → Correct : BC<sup>2</sup> = AB<sup>2</sup> + AC<sup>2</sup>, puis racine carrée.
  • Erreur : additionner les carrés pour trouver un côté de l’angle droit → Correct : soustraire, AC<sup>2</sup> = BC<sup>2</sup> − AB<sup>2</sup>.
  • Erreur : appliquer le théorème à un triangle non rectangle → Correct : l’égalité n’est valable que si l’angle droit est connu ou démontré.
  • Erreur : oublier la racine carrée et conclure BC = 100 → Correct : BC<sup>2</sup> = 100 donc BC = 10.
  • Erreur : prendre un côté quelconque comme hypoténuse → Correct : l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, toujours le plus long.

À retenir

Angle droit connu : on calcule un côté avec la somme ou la différence des carrés. Trois côtés connus : on compare le carré du plus grand à la somme des deux autres pour décider si le triangle est rectangle.

Voir aussi