Théorème de Thalès : configuration, formule, réciproque

Si deux droites sécantes en A sont coupées par deux droites parallèles (MN) et (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC : les longueurs des deux triangles sont proportionnelles. Réciproquement, si AM/AB = AN/AC avec des points alignés dans le même ordre, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Mis à jour le 7 novembre 2026

Configuration

Deux droites (BM) et (CN) sécantes en A ; M est sur (AB), N est sur (AC). Si (MN) ∥ (BC), alors :

AM / AB = AN / AC = MN / BC

Configuration	Position des points	Figure
triangle (« emboîtée »)	M entre A et B, N entre A et C	les triangles AMN et ABC sont emboîtés, même sommet A
papillon (« croisée »)	A entre M et B, A entre N et C	deux triangles opposés par le sommet A

Dans les deux cas, on écrit toujours les longueurs en partant du point d’intersection A, petit triangle au numérateur et grand triangle au dénominateur (ou l’inverse, de façon cohérente).

Exemple numérique

AB = 6 cm, AM = 4 cm, AC = 9 cm, BC = 7,5 cm et (MN) ∥ (BC).

Rapport	Égalité	Calcul
AM / AB	4 / 6 = 2/3	rapport de réduction k = 2/3
AN / AC	AN / 9 = 4 / 6	AN = 9 × 4 ÷ 6 = 6 cm
MN / BC	MN / 7,5 = 4 / 6	MN = 7,5 × 4 ÷ 6 = 5 cm

Rédaction type

« Les points A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part sont alignés dans le même ordre, et (MN) ∥ (BC). »
« D’après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC. »
Remplacer, puis produit en croix pour la longueur cherchée.

Réciproque : prouver que deux droites sont parallèles

Si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre et si AM/AB = AN/AC, alors (MN) ∥ (BC).
Exemple : AM = 3, AB = 7,5, AN = 2, AC = 5. AM/AB = 0,4 et AN/AC = 0,4 : égaux, donc (MN) ∥ (BC).
Si les deux rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles (contraposée).
Le rapport MN/BC ne sert jamais dans la réciproque.

Agrandissement et réduction

Le triangle AMN est une réduction du triangle ABC de rapport k = AM/AB : toutes ses longueurs sont multipliées par k, son aire par k². Dans l’exemple, k = 2/3 et l’aire de AMN vaut 4/9 de celle de ABC.

Erreurs fréquentes

Erreur : AM/MB = AN/AC → Correct : toujours partir du sommet A, AM/AB = AN/AC.
Erreur : écrire AM/AB = MN/BC sans vérifier le parallélisme → Correct : l’hypothèse (MN) ∥ (BC) est indispensable.
Erreur : utiliser MN/BC dans la réciproque → Correct : seuls les rapports sur les deux droites sécantes servent à prouver le parallélisme.
Erreur : oublier « alignés dans le même ordre » dans la réciproque → Correct : cette condition fait partie de l’énoncé.
Erreur : mélanger petit et grand triangle d’un rapport à l’autre (AM/AB = AC/AN) → Correct : cohérence, petit sur grand partout.

À retenir

Parallèles connues : égalité des trois rapports, puis produit en croix. Parallélisme à prouver : comparer deux rapports à partir du point d’intersection, points alignés dans le même ordre. Le rapport est aussi le coefficient de réduction.